Question

【题目】已知函数（其中是自然对数的底数）.

（1）证明：①当时，；

②当时，.

（2）是否存在最大的整数，使得函数在其定义域上是增函数？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

(1)①直接作差，构建新函数研究最值即可；②同样作差构建函数，研究最值即可；

(2)由题意可得，变量分离研究最值即可.

①令，

当时，，故在区间上为减函数，

当时，，故在区间上为增函数，

因此，故.

②令，

，因此为增函数

当时，，故.

（2）据题意，函数的定义域为，又，

，

因此对一切有.

令，

则，，

故为增函数，

又，，

因此在区间上有唯一的零点，记它为，

在上单调递减，在上单调递增，

故，因此，其中

由（1）可知恒成立，且当时，成立

故

当且仅当时等号成立.

因此.

又

因此，即存在最大的整数28，使得在其定义域上是增函数.