Question

14．已知集合A={（x，y）|x²+y²≤1，x，y∈Z}，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B={（x₁+x₂，y₁+y₂）|（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，则A⊕B中元素的个数为（　　）

• A． 77
• B． 49
• C． 45
• D． 30

Answer 1

分析 由题意可得，A={（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0），B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2）}，根据定义可求

解答 解：解法一：
∵A={（x，y）|x²+y²≤1，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，-1），（1，0），（-1，0），
B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2）（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2）}
∵A⊕B={（x₁+x₂，y₁+y₂）|（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，
∴A⊕B={（0，0），（0，1），（0，2），（0，-1），（0，-2），（1，0），（1，1），（1，2）（1，-1），（1，-2）（2，0），（2，1），（2，2），（2，-1），（2，-2），（-1，-2），（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-2，-2），（-2，-1），（-2，0），（-2，1），（-2，2），
（-2，3），（-2，-3），（0，-3），（2，-3），（-1，3），（-1，-3），（1，3），（2，3），（0，3），（3，-1），（3，0）（3，1），（3，2），（3，-2）（-3，2）（-3，1），（1，-3），（-3，-1），（-3，0），（-3，-2）}共45个元素；
解法二：
因为集合A={（x，y）|x²+y²≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5个元素，即图中圆中的整点，B={（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5=25个元素，即图中正方形ABCD中的整点，A⊕B={（x₁+x₂，y₁+y₂）|（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}的元素可看作正方形A₁B₁C₁D₁中的整点（除去四个顶点），即7×7-4=45个．

故选：C．

点评 本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本定义及运算，解题中需要取得重复的元素．