Question

5．求下列函数的二阶导数：
（1）y=xcosx；
（2）y=e^-2xsinx；
（3）y=ln$\frac{1}{1-x}$；
（4）y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$．

Answer 1

分析 利用导数的运算法则、复合函数的导数运算法则即可得出．

解答 解：（1）y′=cosx-xsinx，∴y^″=-2sinx-xcosx．
（2）∵（e^-2x）′=e^-2x（-2x）′=-2e^-2x．
∴y′=-2e^-2xsinx+e^-2xcosx，
y^″=-2（-2e^-2x）sinx-2e^-2xcosx-2e^-2xcosx-e^-2xsinx=3e^-2xsinx-4e^-2xcosx．
（3）∵$（\frac{1}{1-x}）^{′}$=$\frac{0-（-1）}{（1-x）^{2}}$=$\frac{1}{（1-x）^{2}}$
y′=$\frac{（\frac{1}{1-x}）^{′}}{\frac{1}{1-x}}$=$\frac{\frac{1}{（1-x）^{2}}}{\frac{1}{1-x}}$=$\frac{1}{1-x}$，
y^″=$\frac{1}{（1-x）^{2}}$．
（4）$（\sqrt{4-{x}^{2}}）^{′}$=$\frac{（4-{x}^{2}）^{′}}{2\sqrt{4-{x}^{2}}}$=$\frac{-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$．
y′=$\frac{（4-{x}^{2}）^{′}}{2\sqrt{4-{x}^{2}}}$=$\frac{-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}$，y^″=$\frac{-\sqrt{4-{x}^{2}}-（-x）（\sqrt{4-{x}^{2}}）^{′}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{-\sqrt{4-{x}^{2}}+x•\frac{-x}{\sqrt{4-{x}^{2}}}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{-4}{（4-{x}^{2}）\sqrt{4-{x}^{2}}}$．

点评 本题考查了导数的运算法则、复合函数的导数运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．