Question

已知正方形ABCD的边长为2，中心为O，四边形PACE是直角梯形，设PA⊥平面ABCD，且PA=2，CE=1，
（1）求证：面PAD∥面BCE．
（2）求PO与平面PAD所成角的正弦．
（3）求二面角P-EB-C的正切值．

Answer 1

分析：（1）通过线线平行⇒线面平行⇒面面平行；
（2）根据面面垂直的性质作交线的垂线，再证线面垂直，证射影，证明角符合定义，然后求角即可；
（3）根据线面垂直关系利用三垂线定理，作二面角的平面角，通过解三角形求解．

解答：解：（1）证明：
∵PA∥CE，AD∥BC，PA∩AD=A，
BC，CE?平面BCE，∴平面PAD∥平面BCE．
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
过O作OG⊥AD于G，连接PG．
∵OG⊥平面PAD，∴PG是PO在平面PAD内的射影，
∴∠POG为PO与平面PAD所成的角．
在Rt△PAO中，OP=

PA2+OA2

=

6

在△PGO中，∠PGO=

π

2

，OG=1，
∴sin∠POG=

1

6

=

6

6

．
∴PO与平面PAD所成角的正弦为

6

6

（3）把图形补成如图正方体形状，过M作MN⊥BE于N，连接PN．
∵PM⊥平面BCFM，∴MN为PN在平面BCFM中的射影，
由三垂线定理得PN⊥BE，∴∠PNM为二面角P-BE-C的平面角的补角，
∵tan∠BEC=tan∠MBN=2，∴sin∠MBN=

2

5

，
MN=2×sin∠MBN=

4 5

5

在Rt△PMN中，tan∠MNB=

PM

MN

=

5

2

．
 所求二面角的正切值为-

5

2

点评：本题考查面面平行的判定及空间角的求法．求空间角的一般步骤是：1、作角（根据定义作平行线或垂线）；2、证角（证明符合定义）；3、求角（解三角形）．空间中直线与平面所成的角的范围是：[0，

π

2

]；二面角的取值范围是：[0，π]．