Question

已知椭圆C₁，抛物线C₂的焦点均在x轴上，C₁的中心和C₂的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两点，将其坐标记录于下表中：

x	3	-2	4
y	-2	0	-4

（Ⅰ）求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）若过曲线C₁的右焦点F₂的任意一条直线与曲线C₁相交于A、B两点，试证明在x轴上存在一定点P，使得的值是常数．

Answer 1

解：（Ⅰ）设抛物线C₂：y²=2px（p≠0），则有，
据此验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，∴C₂的标准方程为y²=4x．…（2分）
设C₁：，把点（-2，0），（，）代入得：，解得．
∴C₁的标准方程为．…（6分）
（Ⅱ）①当直线AB不与x轴垂直时，设其方程为y=k（x-），代入椭圆方程，消去y可得（1+4k²）x²-8k²x+12k²-4=0，则
x_A+x_B=，x_Ax_B=．…（8分）
设点P（t，0），则=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=．…（10分）
当，即时，对任意k∈R，=-．…（12分）
②当AB⊥x轴时，直线AB的方程为x=，x_A=x_B=，y_Ay_B=-．
若，则=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B=
故存在x轴上的点P（），使得的值是常数．…（13分）
分析：（Ⅰ）验证4个点知（3，-2），（4，-4）在抛物线上，（-2，0），（，）在椭圆上，由此可求C₁、C₂的标准方程；
（Ⅱ）分类讨论，利用=（x_A-t）（x_B-t）+y_Ay_B，即可求得结论．
点评：本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程，考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．