【题目】在如图所示的几何体中,四边形为正方形,四边形
为直角梯形,且
,
,平面
平面
,
.
()求证:
平面
.
()若二面角
为直二面角,
(i)求直线与平面
所成角的大小.
(ii)棱上是否存在点
,使得
平面
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)(i),(ii)见解析.
【解析】试题分析:(1)连结BD,设AC∩BD=O,设G为DE的中点,连结OG,FG,推导出四边形AOGF为平行四边形,从而AC∥FG,由此能证明AC∥平面DEF.
(2)(i)以A为原点,AD,AB,AF分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法能求出直线AC与平面CDE所成角的大小.
(ii)假设棱DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF.设,则
,设P(x,y,z),求出P点坐标为
,从而
,由此能求出DE上存在点P,使得BP⊥平面DEF,且
.
试题解析:
()证明:连接
交
于
,
∵四边形为正方形,
∴是
中点,
设是
的中点,连接
,
,
则,且
,
∵四边形为直角梯形,且
,
,
∴,且
,
∴,且
,
∴四边形为平行四边形,
∴,即
,
又∵平面
,
平面
,
∴平面
.
()(i)由已知,
,
,
∴,
∵二面角为直二面角,
∴平面平面
,
∴平面
,
∴,
,
又四边形为正方形,
∴,
∴,
,
两两垂直,
以为原点,
,
,
分别为
,
,
轴建立空间直角坐标系,
如图所示,
由得:
,
,
,
,
,
.
∴,
,
.
设平面的一个法向量为
,则:
,即
,
取,则
,
,
∴,
设直线与平面
所成的角为
,则有:
,
∵,
∴,
即直线与平面
所成角的大小为
.
(ii)假设棱上存在点
,使得
平面
,
设,则
,
设,则
,
∵,
∴,
∴,
,
,
解得,
,
,
即点坐标为
,
∵,
∴,
又,
,
∴,即
,
解得.
∵,
∴上存在点
,使得
平面
,且
.
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【题目】已知椭圆的离心率
,过点A(0,-b)和B(a,0)的直线与坐标原点距离为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点E(-1,0),若直线y=kx+2(k≠0)与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在k值,使以CD为直径的圆过定点E?若存在求出这个k值,若不存在说明理由.
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【题目】已知直线y=k(x+ )与曲线y=
恰有两个不同交点,记k的所有可能取值构成集合A;P(x,y)是椭圆
上一动点,点P1(x1 , y1)与点P关于直线y=x+l对称,记
的所有可能取值构成集合B,若随机地从集合A,B中分别抽出一个元素λ1 , λ2 , 则λ1>λ2的概率是 .
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且asin B=-bsin.
(1)求A;
(2)若△ABC的面积S=c2,求sin C的值.
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【题目】(本小题13分)已知数列满足:
,
,且
.记
集合.
(Ⅰ)若,写出集合
的所有元素;
(Ⅱ)若集合存在一个元素是3的倍数,证明:
的所有元素都是3的倍数;
(Ⅲ)求集合的元素个数的最大值.
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【题目】已知椭圆C: (a>b>0)的离心率e=
,右顶点、上顶点分别为A,B,直线AB被圆O:x2+y2=1截得的弦长为
(1)求椭圆C的方程;
(2)设过点B且斜率为k的动直线l与椭圆C的另一个交点为M, =λ(
),若点N在圆O上,求正实数λ的取值范围.
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【题目】如图,在边长为4的正三角形ABC中,D,E,F分别为各边的中点,G,H分别为DE,AF的中点,将沿DE,EF,DF折成正四面体
,则在此正四面体中,下列说法正确的是______.
异面直线PG与DH所成的角的余弦值为
;
;
与PD所成的角为
;
与EF所成角为
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