Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+3=0和直线l：x+2y+m=0交于P，Q两点，且OP⊥OQ
（O为坐标原点），求：
（Ⅰ）圆C的圆心坐标与半径；
（Ⅱ）m的值及直线l在y轴上的截距．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接把圆的方程转化为标准形式，即可求出圆C的圆心坐标与半径；
（Ⅱ）先P，Q的坐标，利用P，Q的坐标是方程组

x2+y2+x-6y+3=0 x+2y+m=0

的解，消去x求出P，Q的纵坐标之间的关系；再结合OP⊥OQ?x₁x₂+y₁y₂=0，即可求出m的值，进而求出直线l在y轴上的截距．

解答：解：（Ⅰ）C：(x+

1

2

)2+(y-3)2=(

5

2

)2
圆C的圆心坐标C(-

1

2

，3)，半径r=

5

2

；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
则P，Q的坐标（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程组

x2+y2+x-6y+3=0 x+2y+m=0

的解，
消去x，得（2y+m）²+y²+（-2y-m）-6y+3=0
即5y²+4（m-2）y+m²-m+3=0
则

△=16(m-2)2-20(m2-m+3)=-4(m2+11m-1)＞0 y1+y2=- 4 5 (m-2) y1y2= 1 5 (m2-m+3)

因为OP⊥OQ?x₁x₂+y₁y₂=0
又  x₁x₂+y₁y₂
=（2y₁+m）（2y₂+m）+y₁y₂=5y₁y₂+2m（y₁+y₂）+m²
=m2-m+3+2m[-

4

5

(m-2)]+m2=

1

5

(2m2+11m+15)=0
即（m+3）（2m+5）=0，
解得：m=-3，m=-

5

2

此时△＞0
又因为直线l在y轴上的截距是-

1

2

m，即

3

2

或

5

4

．

点评：本题主要考查直线与圆的方程的应用．在求圆的圆心坐标与半径时，常用做法是把圆的方程转化为标准形式．