Question

【题目】设函数f（x）= （其中p2+q2≠0），且存在公差不为0的无穷等差数列{an}，使得函数在其定义域内还可以表示为f（x）=1+a1x+a2x+a2x2+…+anxn+…
（1）求a1 ， a2的值（用p，q表示）；
（2）求{an}的通项公式；
（3）当n∈N*且n≥2时，比较（an﹣1）an与（an） 的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，得 ，

显然x，x2的系数为0，所以 ，

从而a1=﹣p，

（2）解：考虑xn（n≥3）的系数，则有an+pan﹣1+qan﹣2=0，

因数列{an}是等差数列，所以an﹣2an﹣1+an﹣2=0，所以（2+p）an﹣1=（1﹣q）an﹣2对一切n≥3都成立，

若an=0，则p=q=0，与p2+q2≠0矛盾，

若数列{an}是等比数列，又据题意{an}是等差数列，则{an}是常数列，这与数列{an}的公差不为零矛盾，

所以2+p=1﹣q=0，即p=﹣2，q=1，

由（1）知a1=2，a2=3，所以an=n+1．

（其他方法：根据题意可以用p、q表示出a1，a2，a3，a4，由数列{an}为等差数列，利用2a2=a1+a3，2a3=a2+a4解方程组也可求得．其它解法酌情给分．）

（3）解：由（2）可得：（an﹣1）an=nn+1，（an） =（n+1）n

当n=2时，a1a2=23，=8，a2a1=32，=9，∴a1a2＜a2a1．

当n≥3时，nn+1＞（n+1）n即（an﹣1）an＞（an） ，下面用数学归纳法证明．

①当n=3时，34=81，43=64，∴64＜81．结论成立．

②假设n=k时，结论成立，即kk+1＞（k+1）k．

下面证明n=k+1时成立．

由假设得 ，因为（k+1）2＞k（k+2），即： ，

所以 ＞ = ，

即（k+1）k+2＞（k+2）k+1．所以n=k+1时，结论也成立．

综上n∈N*且n≥3时，（an﹣1）an＞（an）

【解析】（1）化简已知条件，利用方程的系数关系列出方程，求解即可．（2）考虑xn（n≥3）的系数，推出an+pan﹣1+qan﹣2=0，利用数列{an}是等差数列，数列{an}是等比数列，推出矛盾，利用（1）知a1=2，a2=3，求出an ． （3）通过当n=2时，推出a1a2＜a2a1 ． 当n≥3时，（an﹣1）an＞（an） ，利用数学归纳法证明即可．
【考点精析】利用等差数列的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．