Question

设双曲线C：

x2

a2

-y²=1与直线x+y=1相交于不同的两点A、B．
（1）求双曲线C的离心率e的取值范围；
（2）若OA⊥OB（O是坐标原点），求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）把直线与双曲线方程联立消去y，利用判别式大于0和方程二次项系数不等于0求得a的范围，进而利用a和c的关系，用a表示出离心率，根据a的范围确定离心率的范围．
（2）由根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，进一步纵坐标的积，由OA⊥OB列式求解a的值．

解答：解：（1）由C与l相交于两个不同的点，故知方程组

x2 a2 -y2=1 x+y=1

有两个不同的实数解．
消去y并整理得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0．①
所以

1-a2≠0 (2a2)2-4(1-a2)(-2a2)＞0

，解得-

2

＜a＜

2

，且a≠±1．
双曲线的离心率e=

c

a

=

1+a2

a

=

1 a2 +1

．
∵-

2

＜a＜

2

，且a≠±1，
∴e＞

6

2

，且e≠

2

．
∴离心率e的取值范围为（

6

2

，

2

）∪（

2

，+∞）；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由（1）知，x1+x2=

2a2

a2-1

，x1x2=

2a2

a2-1

，
y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂）=1-（x₁+x₂）+x₁x₂=1．
由OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0．
即x₁x₂+y₁y₂=0，∴

2a2

a2-1

+1=

3a2-1

a2-1

=0．
解得：a=±

3

3

．

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常采用“设而不求”的办法，借助于一元二次方程的根与系数关系解决，训练了数量积判断两个向量垂直的关系，考查了学生的计算能力，是压轴题．