Question

已知x∈[

1

27

，

1

9

]，函数f（x）=log₃

x

27

×log33x
（1）求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值

Answer 1

分析：（1）将函数变形f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3，令log₃x=t，转化为二次函数解决．
（2）方程f（x）+m=0有两根α，β，令log₃x=t，则t²-2t-3+m=0也有两根，再用韦达定理求解．

解答：解：（1）f（x）=（log₃x-3）（log₃x+1）=（log₃x）²-2log₃x-3
令log₃x=t，由x∈[

1

27

，

1

9

]得，t∈[-3，-2]
∴y=t²-2t-3，t∈[-3，-2]
当t=-3时，y_max=12
当t=-2时，y_min=5
（2）（log₃x）²-2log₃x-3+m=0，有两个根α、β
令log₃x=t，则t²-2t-3+m=0也有两根，不妨设t₁=log₃α，t₂=log₃β
则t₁+t₂=log₃α+log₃β=log₃（αβ）=2
∴αβ=9

点评：本题主要考查一般函数通过变形转化为基本函数解决问题的能力．