Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=

1

(a＞b＞0)的离心率e=

1

2

，且椭圆过点(1，

3

2

)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若M为椭圆C上的动点，F为椭圆的右焦点，以M为圆心，MF长为半径作圆M，过点E（-6，0）作圆M的两条切线EA，EB（A，B为切点），求点M的坐标，使得四边形EAMB的面积最大．

Answer 1

分析：（1）由题意得，

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

，解方程可求a，b，c，进而可求椭圆的方程
（2）设M（x₀，y₀），圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

，根据圆的切线的性质可求EA，再由S_EAMB=2S_△EAM=

1

2

EA•AM及

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

，从而可把所求的面积转化为关于x₀的函数，利用导数可求函数的最值

解答：解：（1）依题意得，

e= c a = 1 2 1 a2 + 9 4b2 =1 a2=b2+c2

…（3分）
解得a=2，b=

3

，c=1，…（4分）
所以椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．           …（5分）
（2）设M（x₀，y₀），圆M：（x-x₀）²+（y-y₀）²=r²，其中r=|MF|=

(x0-1)2+ y 2 0

|EA|=

|EM|2-r2

=

(x0+6)2+ y 2 0 -r2

=

14x0+35

，（-2≤x₀≤2）…（7分）SEAMB=2S△EAM=2•

1

2

|EA|•|AM|=|EA|•|MF|=

14x0+35

•

(x0-1)2+ y 2 0

…（8分）
又M（x₀，y₀）在椭圆

x2

4

+

y2

3

=1上，则

y

2 0

=3-

3

4

x

2 0

…（9分）
所以SEAMB=

7 2 x 3 0 - 77 4 x 2 0 -14x0+140

，（-2≤x₀≤2）…（10分）
令f(x)=

7

2

x

3 0

-

77

4

x

2 0

-14x0+140，（-2≤x₀≤2）
f′(x)=

21

2

x

2 0

-

77

2

x0-14=

7

2

(3x0+1)(x0-4)，（-2≤x₀≤2）…（11分）
当x0∈[-2，-

1

3

)时，f′（x）＞0，当x0∈(-

1

3

，2]时，f′（x）＜0…（12分）
所以当x0=-

1

3

时，f（x）有最大值，即x0=-

1

3

时，四边形EAMB面积取得最大值…（13分）
此时点M的坐标为M(-

1

3

，

105

6

)或M(-

1

3

，-

105

6

)…（14分）

点评：本题主要考查了利用椭圆的性质求解椭圆的方程，圆的切线的性质的应用及利用导数判断函数的单调性，求解函数的最值，属于知识的综合性应用．