Question

已知集合A={-1，0，1}，对于数列{a_n}中，a_i∈A（i=1，2，3，…，n）．
（Ⅰ）若50项数列{a_n}满足

50

i=1

ai=-9，

50

i=1

(ai-1)2=107，则数列{a_n}中有多少项取值为零？（

n

i=1

ai=a1+a2+…+an ， n∈N*）
（Ⅱ）若各项非零数列{a_n}和新数列{b_n}满足b_i-b_i-1=a_i-1（i=2，3，…，n）．
（ⅰ）若首项b₁=0，末项b_n=n-1，求证数列{b_n}是等差数列；
（ⅱ）若首项b₁=0，末项b_n=0，记数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的最大值和最小值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设数列{a_n}中项为1，-1，0分别有x，y，z项，依题意，解方程组

x+y+z=50  x-y=-9  z+4y=107

即可；
（Ⅱ）依题意知，b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），分若a_i=1（i=1，2，…，n-1）与若a₁，a₂，…，a_n-1中有p（p＞0，p∈N^*）个-1两种情况讨论，即可证得数列{b_n}是等差数列；
（ⅱ）依题意知，b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），又b_n=0，故a₁+a₂+…+a_n-1=0，而a_i∈{-1，1}，于是知n为正奇数，且a₁，a₂，…，a_n-1中有

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1，S_n=（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1，通过对S_n的最值情况的讨论与分析，即可求得S_n的最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）设数列{a_n}中项为1，-1，0分别有x，y，z项．由题意知

x+y+z=50  x-y=-9  z+4y=107

解得z=11．所以数列{a_n}中有11项取值为零．               
（Ⅱ）（ⅰ）a_i∈{-1，1}且b_i-b_i-1=a_i-1，得到b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），
若a_i=1（i=1，2，…，n-1），则满足b_n=n-1．此时b_i-b_i-1=1，数列{b_n}是等差数列；
若a₁，a₂，…，a_n-1中有p（p＞0，p∈N^*）个-1，则b_n=n-1-2p≠n-1不满足题意；
∴数列{b_n}是等差数列．                                  
（ⅱ）∵数列{b_n}满足b_i-b_i-1=a_i-1，
∴b_i=a₁+a₂+…+a_i-1（i=2，3，…，n），
根据题意有末项b_n=0，故a₁+a₂+…+a_n-1=0，而a_i∈{-1，1}，
∴n为正奇数，且a₁，a₂，…，a_n-1中有

n-1

2

个1和

n-1

2

个-1．
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=a₁+（a₁+a₂）+…+（a₁+a₂+…+a_n-1）
=（n-1）a₁+（n-2）a₂+…+a_n-1，
要求S_n的最大值，则只需a₁，a₂，…，a_n-1前

n-1

2

项取1，后

n-1

2

项取-1，
∴（S_n）_max=（n-2）+（n-4）+…+1=

(n-1)2

4

（n为正奇数）．
要求S_n的最小值，则只需a₁，a₂，…，a_n-1前

n-1

2

项取-1，后

n-1

2

项取1，
则（S_n）_min=-（n-2）-（n-4）+…-1=-

(n-1)2

4

（n为正奇数）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查分类讨论思想与等价转化思想的综合应用，考查抽象思维、逻辑思维，考查综合运算能力，属于难题．