Question

已知函数f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，c=7，且f（C）=2△ABC面积为10

3

，求a²+b²的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+1，从而求得最小正周期，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求出x的范围可得函数的增区间．
（2）由f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=2求得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，结合C的范围求出 C的值，再根据c²=a²+b² -2ab•cosC=49 及S_△ABC=

1

2

ab•sinC=10

3

，求出a²+b² 的值．

解答：解：（1）∵函数f（x）=2

3

sin²（

π

4

+x）+2cos²x-

3

=2

3

×

1-cos( π 2 +2x)

2

+1+cos2x-

3

=2sin（2x+

π

6

）+1，
函数的最小正周期是

2π

2

=π，令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故增区间为[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）f（C）=2sin（2C+

π

6

）+1=2，所以，sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
因为 0＜C＜π，∴

π

6

＜2C+

π

6

＜

13π

6

，∴2C+

π

6

=

5π

6

，∴C=

π

3

．
由余弦定理得 c²=a²+b² -2ab•cosC=49，又S_△ABC=

1

2

ab•sinC=10

3

，故ab=40，
所以a²+b² =89．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，余弦定理的应用，属于中档题．