Question

11．已知函数f（x）=|x+1|+2|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，求不等式f（x）＞2的解集；
（II）若函数y=f（x）的最小值为5，求实数a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；
（Ⅱ）通过讨论a的范围，求出各个区间上的函数的最小值，得到关于a的方程，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=|x+1|+2|x-1|，
x≥1时，f（x）=x+1+2x-2=3x-1＞2，解得：x＞1，
-1＜x＜1时，f（x）=x+1+2-2x=-x+3＞2，解得：x＜1，
x≤-1时，f（x）=-x-1+2-2x=-3x+1＞2，解得：x＜-$\frac{1}{3}$，
综上，不等式的解集是（-∞，1）∪（1，+∞）；
（II）  ①a＞-1时，
x≥a时，f（x）=x+1+2x-2a=3x+1-2a，
此时，f（x）_min=f（a）=a+1，
-1≤x≤a时，f（x）=x+1+2a-2x=-x+2a+1，
此时，f（x）_min=f（a）=a+1；
x≤-1时，f（x）=-x-1+2a-2x=-3x+2a-1，
此时，f（x）_min=f（-1）=2a+2，
由a＞-1，得2a+2＞a+1，
综上，f（x）的最小值是f（a）=a+1=5，解得：a=4；
②a＜-1时，
x≥-1时，f（x）=x+1+2x-2a=3x+1-2a，
此时，f（x）_min=f（-1）=-2a-2，
a≤x≤-1时，f（x）=-x-1+2x-2a=x-1-2a，
此时，f（x）_min=f（a）=-a-1，
x≤a时，f（x）=-x-1-2x+2a=-3x+2a-1，
此时，f（x）_min=f（a）=-a-1，
由a＜-1，则-a-1＜-2a-2，
故f（x）的最小值是f（a）=-a-1=5，解得：a=-6，
综合①②a=4或a=-6．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及函数最值问题，是一道中档题．