Question

2．已知空间几何体CBEADF如图所示，底面AEFD为矩形，平面BEFC⊥平面AEFD，∠CFE=∠BEF=90°，其中AE+BE=AD=2，DF+CF=4．
（1）若AE=1，G为棱CF上靠近点F的三等分点，证明：DG∥平面ABC；
（2）当V_E-ABF=$\frac{1}{3}$时，求直线BF与CA所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）计算CF=3，得出FG=1，利用平行四边形的判定与性质得出DG∥AB，故而DG∥平面ABC；
（2）利用体积求出BE，建立坐标系，计算$\overrightarrow{BF}$和$\overrightarrow{CA}$的夹角得出异面直线所成角的大小．

解答 （1）证明：当AE=1时，BE=1，DF=AE=1，∴CF=3，
∴FG=$\frac{1}{3}$CF=1，
∴BE$\stackrel{∥}{=}$FG，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴BG$\stackrel{∥}{=}$EF，又AD$\stackrel{∥}{=}$EF，
∴BG$\stackrel{∥}{=}$AD，
∴四边形ABGD是平行四边形，
∴DG∥AB，又AB?平面ABC，DG?平面ABC，
∴DG∥平面ABC．
（2）解：∵平面BEFC⊥平面AEFD，∠BEF=90°，平面BEFC∩平面AEFD=EF，
∴BE⊥平面AEFD，
设AE=a，则BE=2-a，
∴V_E-ABF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×a×（2-a）$=$\frac{1}{3}$，
解得a=1，∴BE=AE=1，CF=3，
以E为原点，以EA，EF，EB为坐标轴建立空间坐标系，
则A（1，0，0），B（0，0，1），F（0，2，0），C（0，2，3），
∴$\overrightarrow{BF}$=（0，2，-1），$\overrightarrow{CA}$=（1，-2，-3），
∴cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CA}$＞=$\frac{\overrightarrow{BF}•\overrightarrow{CA}}{|\overrightarrow{BF}||\overrightarrow{CA}|}$=$\frac{-4+3}{\sqrt{5}•\sqrt{14}}$=-$\frac{\sqrt{70}}{70}$，
∴直线BF与CA所成角的余弦值为|cos＜$\overrightarrow{BF}，\overrightarrow{CA}$＞|=$\frac{\sqrt{70}}{70}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，异面直线所成角的计算，属于中档题．