Question

1．在△ABC三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c²sinA=5sinC，（a+c）²=16+b²，则△ABC的面积是2．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知等式可得ac=5，由余弦定理可求cosB=$\frac{3}{5}$，利用同角三角函数基本关系式解得sinB，进而根据三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：∵c²sinA=5sinC，
∴ac²=5c，可得：ac=5，
∵（a+c）²=16+b²，可得：b²=a²+c²+2ac-16，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，可得：2ac-16=-2accosB，整理可得：2ac（1+cosB）=16，
∴cosB=$\frac{3}{5}$，解得sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×5×\frac{4}{5}$=2．
故答案为：2．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．