Question

7．直线y=kx+1和双曲线3x²-y²=1相交，交点为A、B，当k为何值时，以弦AB为直径的圆过坐标原点．

Answer 1

分析 把直线方程与双曲线的方程联立可得△＞0，解出k的范围．利用向量垂直与数量积的关系、根与系数的关系即可得出．

解答 解：设交点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{3{x}^{2}-{y}^{2}=1}\end{array}\right.$消去y，得（3-k²）x²-2kx-2=0，
由于直线与双曲线相交，∴$\left\{\begin{array}{l}{3-{k}^{2}≠0}\\{△=4{k}^{2}+8（3-{k}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，∴k²＜6且k²≠3．
∴k的取值范围为-$\sqrt{6}$＜k＜$\sqrt{6}$，且k≠±$\sqrt{3}$．
由韦达定理，得x₁+x₂=$\frac{2k}{3-{k}^{2}}$，①x1x2=$\frac{-2}{3-{k}^{2}}$，②
∵以AB为直径的圆恰好过坐标系的原点，
∴$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=0，整理得（k²+1）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=0③
将①②代入③，并化简得$\frac{1-{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$=0，∴k=±1，
经检验，k=±1满足题目条件，
故存在实数k满足题目条件．

点评 本题考查了直线与双曲线相交转化为方程联立可得△＞0及根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．