Question

已知四棱锥P-ABCD的底面是正方形，侧面PAD上底面ABCD，侧棱PA和PD与底面ABCD所成角都是60°，E为侧棱PD的中点．

(Ⅰ)求证：AE⊥平面PCD；

(Ⅱ)求二面角A-PC-D的大小．

Answer 1

解法1  (Ⅰ)过P作PO⊥AD，垂足为O.

∵平面PAD⊥平面ABCD ∴PO⊥平面ABCD.

故∠PAO、∠PDO分别是PA、PD与底面ABCD所成的角，

即∠PAO=∠PDO=60°.∴PA=PD=AD.

∵PE=ED  ∴AE⊥PD

又∵平面PAD⊥平面ABCD且CD⊥AD

∴CD⊥平面PAD. ∴CD⊥AE

∵CD∩PD=D    ∴AE⊥平面PCD.

(Ⅱ)过E作EH⊥PC，垂足为H，连结HA.

∵AE⊥平面PCD ∴EH是AH在平面PCD内的射影

∴∠EHA为二面角A-PC-D的平面角.

令AD=1，则AE=，EH=

∴tan∠AHE=  则∠AHE=arctan

即二面角A-PC-D的大小为arctan

解法2  (Ⅰ)以AD的中点O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=1，则A(，0，0)，P(0，0，)，

D(-，0，0)，c(-，1，0)，E(-，0，)

∴=(，0，)，

=(-，0，)，=(0，1，0)，

∵·=()×(-)-×=0,

·=0  ∴⊥，⊥

又PD平面PDC、DC平面PDC，PD∩DC=D

∴AE⊥平面PCD.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知=（，0，)是平面PDC的法向量.

设平面PAC的法向量为n₁=（x，y，z），

则n₁⊥  n₁⊥，即

，取x=1，可得y=1，z=.

所以，n₁=（1，1，).

故向量与n₁所成角θ的余弦值

cosθ= 

又由图可知，二面角A-PC-D的平面角为锐角，所以二面角A-PC-D的平面角就是向量与n₁所成角θ的补角.

即二面角A-PC-D的大小为arccos.