Question

在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是线段A₁C₁的中点，AC∩BD=F．
（1）求证：CE⊥BD；
（2）求证：CE∥平面A₁BD；
（3）求三棱锥D-A₁BC的表面积．

Answer 1

分析：（1）欲证CE⊥BD，而CE?平面ACC₁A₁，可先证BD⊥平面ACC₁A₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证BD与平面ACC₁A₁内两相交直线垂直，根据正方体的性质BD⊥AC，AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，则BD⊥AA₁，又AC∩AA₁=A，满足定理所需条件；
（2）欲证CE∥平面A₁BD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证CE与平面A₁BD内一直线平行，连接A₁F，根据AA₁∥BB₁∥CC₁，
AA₁=BB₁=CC₁，可得ACC₁A₁为平行四边形，根据中位线可知CE∥FA₁，FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，满足定理所需条件；
（3）先求出正三角形△A₁BD的面积，然后根据BC⊥平面A₁B₁BA，则BC⊥A₁B，求出直角三角形△A₁BC的面积，同理求出△A₁CD的面积和△BCD面积，最后将四个面积相加即可．

解答：解：（1）证明：根据正方体的性质BD⊥AC，（2分）
因为AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以BD⊥AA₁，
又AC∩AA₁=A，
所以BD⊥平面ACC₁A₁，CE?平面ACC₁A₁，所以CE⊥BD．（4分）

（2）证明：连接A₁F，因为AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁，
所以ACC₁A₁为平行四边形，
因此A₁C₁∥AC，A₁C₁=AC，
由于E是线段A₁C₁的中点，
所以CE∥FA₁，（6分）
因为FA₁?面A₁BD，CE?平面A₁BD，
所以CE∥平面A₁BD．（8分）

（3）△A₁BD是边长为

2

a的正三角形，
其面积为S1=

3

4

•(

2

a)2=

3 a2

2

，（9分）
因为BC⊥平面A₁B₁BA，所以BC⊥A₁B，
所以△A₁BC是直角三角形，其面积为S2=

1

2

•a•

2

a=

2

2

a2，
同理△A₁CD的面积为S3=S2=

2

2

a2，（12分）
△BCD面积为S4=

1

2

a2．（13分）
所以三棱锥D-A₁BC的表面积为S=S1+S2+S3+S4=

1+2 2 + 3

2

a2．（14分）

点评：本小题主要考查直线与平面垂直的性质，直线与平面平行的判定，以及三棱锥的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想，属于中档题．