Question

（2012•资阳一模）已知函数f(x)=[2sin(x-

π

3

)+sinx]•cosx+

3

sin2x(x∈R)．
（1）求函数f(x)在[0，

π

2

]上的最大值和最小值．
（2）在锐角△ABC中，f(A)=

3

，a=

7

，b=2求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）先将函数利用降幂扩角公式，利用辅助角公式化简，再整体思考，利用正弦函数的性质，即可求得函数f(x)在[0，

π

2

]上的最大值和最小值；
（2）由f(A)=

3

得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，从而可求A，再利用余弦定理求边，进而利用面积公式可求△ABC的面积

解答：解：（1）f(x)=[2(sinxcos

π

3

-cosxsin

π

3

)+sinx]•cosx+

3

sin2x
=2sinxcosx-

3

(cos2x-sin2x)=sin2x-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)．（2分）
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
∴sin(2x-

π

3

)∈[-

3

2

，1]，
∴f(x)∈[-

3

，2]，
∴f（x）最大值为2，最小值为-

3

．（6分）
（2）由f(A)=

3

得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，则-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

，
∴2A-

π

3

=

π

3

，∴A=

π

3

．（8分）
由余弦定理7=4+c2-2×2×c×

1

2

，
∴c²-2c-3=0，解得c=3或-1（舍去），
故c=3，（10分）
∴△ABC的面积S=

1

2

bcsinA=

3 3

2

．（12分）

点评：本题将三角函数与解三角形综合，考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，考查余弦定理的运用，有综合性．