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(本小题满分13分) 2010年11月在广州召开亚运会,某小商品公司开发一种亚运会纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售a件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明:如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1),那么月平均销售量减少的百分率为x2,记改进工艺后,该公司销售纪念品的月平均利润是y(元).
(1)写出y与x的函数关系式;
(2)改进工艺后,确定该纪念品的售价,使该公司销售该纪念品的月平均利润最大.

解: (1)改进工艺后,每件产品的销售价为20(1+x)元,月平均销售量为a(1-x2)件,则月平均利润
y=a(1-x2)[20(1+x)-15](元),
∴y与x的函数关系式为
y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1).
(2)由y′=5a(4-2x-12x2)=0得x1=,x2=-(舍),
∴当0<x<时,y′>0;当<x<1时,y′<0.
∴函数y=5a(1+4x-x2-4x3)(0<x<1)在x=处取得最大值.
故改进工艺后,纪念品的销售价为20=30元时,该公司销售该纪念品的月平均利润最大.

解析

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