Question

13．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，∠A=60°，$\frac{b}{c}$=$\frac{8}{5}$，其内切圆半径r=2$\sqrt{3}$，求a、b、c的值．

Answer 1

分析 由内心的性质及三角形面积公式可得：S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}$=$\sqrt{3}$（a+b+c）=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，由正弦定理整理可得：sinA+sinB+sinC=b×$\frac{sinC}{4}$①，结合已知，有$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sin（\frac{2π}{3}-B）}$=$\frac{sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}$=$\frac{8}{5}$，化简整理，解得sinB，sinC的值，代入①，结合正弦定理即可得解．

解答 解：∵由于内心到三角形三边的距离都是r=2$\sqrt{3}$，且内心分此三角形成边长分别为a、b、c高都是r的三个三角形，
∴可得：S_△ABC=$\frac{（a+b+c）r}{2}$=$\sqrt{3}$（a+b+c）=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，
∴解得：a+b+c=$\frac{bc}{4}$，得sinA+sinB+sinC=b×$\frac{sinC}{4}$，①
∵$\frac{b}{c}$=$\frac{8}{5}$，∠A=60°，
∵$\frac{b}{c}=\frac{sinB}{sin（\frac{2π}{3}-B）}$=$\frac{sinB}{\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB}$=$\frac{8}{5}$，整理可得：4$\sqrt{3}$cosB+4sinB=5sinB，可解得：sinB=4$\sqrt{3}$cosB，B为锐角，
∴sin²B=1-cos²B=48cos²B，解得cosB=$\frac{1}{7}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sinC=$\frac{5×\frac{4\sqrt{3}}{7}}{8}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴由①可得：$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4\sqrt{3}}{7}$+$\frac{5\sqrt{3}}{14}$=b×$\frac{5\sqrt{3}}{56}$，解得：b=16，
∴由正弦定理可得：a=$\frac{bsinA}{sinB}$=$\frac{16×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{4\sqrt{3}}{7}}$=14，c=$\frac{asinC}{sinA}=\frac{14×\frac{5\sqrt{3}}{14}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=10．

点评 本题主要考查了三角形内心的性质，三角形面积公式，正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．