Question

在平面直角坐标系O中，直线与抛物线＝2相交于A、B两点．

   （1）求证：“如果直线过点T（3，0），那么＝3”是真命题；

   （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

证明：（1）设过点T(3,0)的直线l交抛物线y²=2x于点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂).

①当直线l的斜率下存在时,L：x=3,

此时L与抛物线相交于点A(3,)、B(3,－).∴=3

②当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0.

得

又∵x₁=y, x₂=y,  ∴=x₁x₂+y₁y₂==3.

综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么=3”是真命题.

或者设直线为x=my+3那么就不必讨论斜率是否存在

   (2)逆命题是：设直线l交抛物线y²=2x于A、B两点,如果=3,那么该直线过点T(3,0).

例如：取抛物线上的点A(2,2),B(,1),此时=3,

直线AB的方程为y=(x+1),而T(3,0)不在直线AB上.

该命题是假命题.

说明：由抛物线y²=2x上的点A(x₁,y₁)、B(x₁₂,y₂)满足=3,可得y₁y₂=－6.

或y₁y₂=2,如果y₁y₂=－6.,可证得直线AB过点(3,0)；如果y₁y₂=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0).