Question

已知定义在R上的函数f（x）=ax³-3x²，其中a为大于零的常数．
（1）当a=

1

3

时，令h（x）=f′（x）+6x，求证：当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx（e为自然对数的底数．）
（2）若函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）要证当x∈（0，+∞）时，h（x）≥2elnx即证f′（x）+6x-2elnx≥0，令F（x）=f′（x）+6x-2elnx=x²-2elnx
即证明F（x）的最小值≥0即可
（2）要求函数g（x）=f（x）+f'（x），x∈[0，2]，在x=0处取得最大值，即先根据求出函数的极值，在与断点出的函数值比较，得出最大值，从而得到关于a的不等式

解答：解：（1）因为f(x)=

1

3

x3-3x2，所以f'（x）=x²-6x
所以h（x）=f'（x）+6x=x²，令F（x）=x²-2elnx，（x＞0）∴F′(x)=2x-

2e

x

=

2(x- e )(x+ e )

x

所以x∈(0，

e

]，F′(x)≤0；x∈[

e

，+∞)，F′(x)≥0
所以当x=

e

时，F（x）取得极小值，F(

e

)为F（x）在（0，+∞）上的最小值
因为F(

e

)=(

e

)2-2eln

e

=0
所以F(x)=x2-2elnx≥F(

e

)=0，即x²≥2elnx
（2）g（x）=ax³+（3a-3）x²-6x，x∈[0，2]
g'（x）=3ax²+2（3a-3）x-6（*），令g'（x）=0有△=36a²+36＞0
设方程（*）的两根为x₁，x₂则，x1x2=-

2

a

＜0设x₁＜0＜x₂
当0＜x₂＜2时，g（x₂）为极小值，所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
当x₂≥2时，g（x）在[0，2]上单调递减，最大值为g（0），所以g（x）在[0，2]上的最大值只能为g（0）或g（2）；
又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（2）
即0≥20a-24解得a≤

6

5

，所以a∈(0，

6

5

]

点评：本题考查了利用导数求闭区间上函数的最值，分类讨论的思想，属于基础题．