Question

【题目】已知函数

（1）若，求函数的单调区间；

（2）若存在，使成立，求整数的最小值．

Answer 1

【答案】（1）的增区间为，减区间为（2）5

【解析】

（1）先求导，将代入，求出导数的零点，结合导数正负判断原函数增减性即可；

（2）先将分离参数得，设，，则所求问题转化为求，求得，令，求得，结合零点存在定理，求得，，可判断导数的零点位于，可得，

，再由即可求出的最小整数；

（1）由题意可知，，，

当时，令，或；

时，，在单调递增；

时，，在单调递减；

综上所述，的增区间为，减区间为

（2）原式等价于，

即存在，使成立．

设，，则，

设，则，∴在上单调递增．

又，，

根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，

设该零点为，则，且，即，

∴.

由题意可知，又，，

∴a的最小值为5．