Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，是线段EF的中点.

（1）求证AM//平面BDE

（2）求二面角A―DF―B的大小

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°

Answer 1

（1）证明：记AC与BD的交点，为O，连接OE.

O，M分别是AC、EF的中点且ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形

∴AM//OE

又OE平面BDE，AM平面BDE.

∴AM//平面BDE

（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S点，连接BS

 

∴AB⊥AF    ∴AB⊥AD    ADAF=A     ∴AB⊥平面ADF

∴AS是BS在平面ADF上的射影，   ∴BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角

在Rt△ASB中，AS  ∴tan∠ASB=  ∴∠ASB=60°

∴二面角A―DF―B的大小为60°

（3）设CP=；作PQ⊥AB于Q，则PQ//AD

PQ⊥AB，PQ⊥AF，ABAF=A   ∴PQ⊥平面ABF  ∴PQ⊥QF

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ

△PAQ为等腰直角三角形，  ∴PQ  又△PAF为Rt△，

∴  ∴t=1或t=3（舍）

即P是AC的中点。