Question

如图，已知F是抛物线y²=4x的焦点，P是抛物线的准线与x轴的交点，过P作直线l交抛物线于不同的两点A、C，点B、D在抛物线上，且

AF

=λ₁

FB

，

CF

=λ₂

FD

．
若

AF

•

CF

=0，求直线l的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设A，C两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），设过P点的直线方程为：x+1=my，即x=my-1，若直线与抛物线y²=4x有两个交点，则联立直线与抛物线方程后的方程y²-4my+4=0的△=16m²-16＞0，进而根据韦达定理和向量数量积的定义，构造方程求出m值，可得答案．

解答： 解：由已知可得F点的坐标为（1，0），P点坐标为（-1，0），
设A，C两点的坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
设过P点的直线方程为：x+1=my，即x=my-1，
则由直线与抛物线y²=4x有两个交点，可得：
y²=4my-4，即y²-4my+4=0的△=16m²-16＞0，解得m＜-1，或m＞1，
且y₁+y₂=4m，y₁•y₂=4，
则x₁+x₂=m（y₁+y₂）-2=4m²-2，x₁•x₂=m²y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=1，
∵

AF

=（1-x₁，-y₁），

CF

=（1-x₂，-y₂），
∴

AF

•

CF

=1-（x₁+x₂）+x₁•x₂+y₁•y₂=1-（4m²-2）+1+4=0，
即4m²-8=0，解得m=±

2

，
故直线l的方程为x+1=±

2

y，即x±

2

y+1=0；

点评：本题考查的知识点是抛物线的简单性质，向量的数量积，直线与抛物线的综合应用，难度中档．