Question

设命题p：函数 f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R；命题q：不等式a＜x+

1

x

-1对?x∈（0，+∞）恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：简易逻辑

分析：求出命题p，q成立的等价条件，利用“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假，分类讨论，确定实数a的取值范围．

解答： 解：：命题p：若函数f（x）=lg（ax²-4x+a）的定义域为R，
则ax²-4x+a＞0恒成立．
若a=0，则不等式为-4x＞0，即x＜0，不满足条件，
若a≠0，则

a＞0 △=16-4a2＜0

解得a＞2，即p：a＞2，
命题q：∵x∈（0，+∞），∴x+

1

x

-1≥2

x× 1 x

-1=1（当且仅当x=

1

x

即x=1时取相等）
不等式a＜x+

1

x

-1对?x∈（0，+∞）恒成立，即为a＜1
由题意“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，则p，q一真一假
若p真q假，则

a＞2 a≥1

，则a＞2，
若p假q真，则

a≤2 a＜1

，则a＜1，
即实数a的取值范围是a＞2或a＜1．

点评：本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件先求出p，q成立的等价条件是解决此类问题的关键．