Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：B₁C⊥平面AED₁；
（Ⅱ）求二面角A-D₁E-C的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）首先建立空间直角坐标系，求出相应的点的坐标，利用向量的数量积，求出平面的法向量，进一步利用向量共线求出结果．
（Ⅱ）先求出平面的法向量，利用法向量的夹角求出结果．

解答： 证明：（ I）如图，因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方形，以D为坐标原点，DA为x轴的正半轴，DC为y轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
由题知，A（1，0，0），E（1，1，0），D₁（0，0，1），C（0，2，0），B₁（1，2，1）；所以

B1C

=(-1，0，-1)；
设平面AED₁的一个法向量为

n

=(x，y，z)，

AE

=(0，1，0)，

AD1

=(-1，0，1)；
由

n • AE =0 n • AD1 =0

，则

0×x+1×y+0×z=0 -1×x+0×y+1×z=0

，令x=1，求得

n

=(1，0，1)；
∵

n

=-

B1C

，
所以，B₁C⊥平面AED₁成立．
解：（ II） 设二面角A-D₁E-C的平面角为θ∈[0，π]，
由（ I） 平面AED₁的一个法向量为

n

=(1，0，1)；
同理：设

n2

=(x，y，z)
由于E（1，1，0），C（0，2，0），D₁（0，0，1）

EC

=(-1，1，0)，

D1C

=(0，2，-1)

n2 • EC =0 n2 • D1C =0

可求平面D₁EC的一个法向量为：

n2

=(-1，-1，-2)
∴cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=-

3

2

，
所以
所以，所求二面角A-D₁E-C的平面角为：θ=

5π

6

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的判定定理，法向量的应用，二面角的应用，属于基础题型．