Question

已知圆C方程为x²+y²-8mx-（6m+2）y+6m+1=0（m∈R，m≠0），椭圆中心在原点，焦点在x轴上．
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；在x轴上是否存在两定点A，B，使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线QA，QB的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）圆C的方程可化为：（x²+y²-2y+1）+m（8x+6y-6）=0．由

x2+y2-2y+1=0 8x+6y-6=0

，能求出圆c过定点（0，1）．
（2）圆C的方程可化为：（x-4m）²+[y-（3m+1）]²=25m²，由此求出圆心到直线l的距离可知直线与圆C相切．
（3）当m=2时，圆C的方程为：（x-8）²+（y-7）²=100，圆心为（8，7），半径为10，与直线x=（8-10），即x=-2相切，所以椭圆的左准线为x=-2，又椭圆过点M（0，1），则b=1，由此求出椭圆方程，进而能够得到A（-

2

，0），B（

2

，0）或A（

2

，0），B（-

2

，0）．

解答：解：（1）圆C的方程可化为：（x²+y²-2y+1）+m（8x+6y-6）=0．
由

x2+y2-2y+1=0 8x+6y-6=0

解得

x=0 y=1

，
∴圆c过定点（0，1）．
（2）圆C的方程可化为：（x-4m）²+[y-（3m+1）]²=25m²，
圆心到直线l的距离为d=

|4×4m+3×(3m+1)-3|

42+32

=

25|m|

5

=5|m|=r，
∴直线与圆C相切．
（3）当m=2时，圆C的方程为：（x-8）²+（y-7）²=100，
圆心为（8，7），半径为10，与直线x=（8-10），即x=-2相切，
所以椭圆的左准线为x=-2，
又椭圆过点M（0，1），则b=1，
∴

a2 c =2 b=1

，∴a=

2

，b=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
在椭圆上任取一点Q（x，y）（y≠0），
则kQA•kQB=

y

x-s

 •

y

x-t

=

1- x2 2

(x-s)(x-t)

 =k对x∈(-

2

，

2

)恒成立，
∴

k= 1 2 k(s+t)=0 kst=1

，∴

k= 1 2 s= 2 t=- 2

或

k=- 1 2 s=- 2 t= 2

．
∴A（-

2

，0），B（

2

，0）或A（

2

，0），B（-

2

，0）．

点评：本题考查圆和圆锥曲线的综合运用，具有一定的难度，解题地要注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．