Question

【题目】以边长为的正三角形的顶点为坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.

（1）求抛物线的方程；

（2）求证： 为定值；

（3）求线段的中点的轨迹方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】试题分析：

(1)由题意结合几何关系列方程组可求得，则抛物线的方程为.

(2)联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理结合平面向量数量积的坐标运算计算可得为定值；

(3) 设线段的中点为，则 消去参数可得中点的轨迹方程为.

试题解析：

（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点关于轴对称，如图所示.

由可得，

∵，∴.

∴抛物线的方程为.

（2）易知抛物线： 的焦点，设直线，并设点.

由可得，∴

∴，

∵，∴ .

（3）设线段的中点为，

则

消去得线段的中点为的轨迹方程为.