【题目】某厂生产产品x件的总成本C(x)=1000+x2(万元),已知产品单价P(万元)与产品件数x满足:P2= ,生产100件这样的产品单价为50万元.
(1)设产量为x件时,总利润为L(x)(万元),求L(x)的解析式;
(2)产量x定为多少时总利润L(x)(万元)最大?并求最大值.
【答案】
(1)解:由产品单价P(万元)与产品件数x满足: ,
生产100件这样的产品单价为50万元,得 ,
∴k=250000
即 .
(x∈(0,+∞)且x∈N*)
(2)解:由 得 .
令L'(x)=0即 ,
∴x=25
当x∈(0,25)时,L'(x)>0,L(x)单调递增;
当x∈(25,+∞)时,L'(x)<0,L(x)单调递减;
因此当x=25时,L(x)取得最大值,且最大值为L(25)=2500﹣1000﹣625=875(万元)
故产量x定为25件时,总利润L(x)(万元)最大,最大值为875万元
【解析】(1)根据题意可求出k=250000,进而得出总利润为L(x)为总卖价减去总成本;(2)根据利润表达式,求出导函数,利用导函数得出函数的极值,进而求出函数的最大值.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知向量 =(cosα﹣ ,﹣1), =(sinα,1), 与 为共线向量,且α∈[﹣ ,0].
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求 的值.
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【题目】以边长为的正三角形的顶点为坐标原点,另外两个顶点在抛物线上,过抛物线的焦点的直线过交拋物线于两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证: 为定值;
(3)求线段的中点的轨迹方程.
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【题目】已知函数f(x)=ex+ae﹣x , 若f′(x)≥2 恒成立,则a的取值范围为( )
A.[3,+∞)
B.(0,3]
C.[﹣3,0)
D.(﹣∞,﹣3]
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【题目】为了引导居民合理用电,国家决定实行合理的阶梯电价,居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯级别 | 第一阶梯 | 第二阶梯 | 第三阶梯 |
月用电范围(度) | (0,210] | (210,400] |
某市随机抽取10户同一个月的用电情况,得到统计表如下:
居民用电户编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
用电量(度) | 53 | 86 | 90 | 124 | 132 | 200 | 215 | 225 | 300 | 410 |
若规定第一阶梯电价每度0.5元,第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元,第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元,试计算A居民用电户用电410度时应电费多少元?
现要在这10户家庭中任意选取3户,求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望;
以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电,现从全市中依次抽取10户,若抽到户用电量为第一阶梯的可能性最大,求的值.
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【题目】已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y= 相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取最大时,直线的倾斜角可以是:①30°;②45°;③60°;④120°⑤150°.其中正确答案的序号是 . (写出所有正确答案的序号)
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【题目】已知点A(0,﹣2),椭圆E: =1(a>b>0)的离心率为 ,F是椭圆的焦点,直线AF的斜率为 ,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
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