【题目】设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
在(0,+
)上恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)单调递减区间是,单调递增区间是
;(2)
【解析】试题分析:(1)由函数的解析式得其定义域为
.
. 因为曲线
在点
处的切线方程为
,所以
,
,联立可得
解方程组可得
. 所以
,
.分别解不等式
与
,可得单调递减与递增区间。(2)不等式
恒成立即不等式
恒成立,构造函数
,因为
,所以对任意
,不等式
恒成立.考虑函数
的单调性。因为
。当
时,对任意
恒成立,此时函数
单调递增.于是,不等式
对任意
恒成立,不符合题意;当函数
为减函数时,
,即
恒成立时,函数
单调递减,构造函数
,
大于函数
的最大值,求导数判断单调性,对任意
,所以
,即
,符合题意;当
时,构造函数
,二次求导
,令
得
,因为
,所以
。所以当
时,
,此时
单调递增,所以
,故当
时,函数
单调递增.于是当
时,
成立,不符合题意;综合上面三种情况可得所求。
试题解析:解:(1)函数的定义域为
.
.
依题意得,
,即
所以.
所以,
.
当时,
;当
时,
.
所以函数的单调递减区间是
,单调递增区间是
.
(2)设函数,故对任意
,不等式
恒成立.
又,当
,即
恒成立时,
函数单调递减,设
,则
,
所以,即
,符合题意;
当时,
恒成立,此时函数
单调递增.
于是,不等式对任意
恒成立,不符合题意;
当时,设
,
则
;
当时,
,此时
单调递增,
所以
,
故当时,函数
单调递增.
于是当时,
成立,不符合题意;
综上所述,实数的取值范围为:
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为调查长沙市中学生平均每人每天参加体育锻炼时间(单位:分钟),按锻炼时间分下一列四种情况统计:①0~10分钟;②11~20分钟;③21~30分钟;④30分钟以上.有l0 000名中学生参加了此项活动,如图是此次调查中某一项的流程图,其输出的结果是6 200,则平均每天参加体育锻炼时间在0~20分钟内的学生的频率是 .
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=BB1=1,B1C=2.
(1)求证:平面B1AC⊥平面ABB1A1;
(2)求直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆心为(1,1)的圆C经过点M(1,2).
(1)求圆C的方程;
(2)若直线x+y+m=0与圆C交于A、B两点,且△ABC是直角三角形,求实数m.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】海中一小岛的周围
内有暗礁,海轮由西向东航行至
处测得小岛
位于北偏东
,航行8
后,于
处测得小岛
在北偏东
(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南
(
)方向航行,求
的最小值.
附:
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=ax2﹣4ax+b(a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小值﹣2.
(1)求a,b的值;
(2)若不等式f(x)≥mx在x∈(0,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知向量 =(cosα﹣
,﹣1),
=(sinα,1),
与
为共线向量,且α∈[﹣
,0].
(1)求sinα+cosα的值;
(2)求 的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】以边长为的正三角形
的顶点
为坐标原点,另外两个顶点在抛物线
上,过抛物线
的焦点
的直线
过交拋物线
于
两点.
(1)求抛物线的方程;
(2)求证: 为定值;
(3)求线段的中点的轨迹方程.
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