【题目】海中一小岛的周围
内有暗礁,海轮由西向东航行至
处测得小岛
位于北偏东
,航行8
后,于
处测得小岛
在北偏东
(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在处改变航向为东偏南
(
)方向航行,求
的最小值.
附:
【答案】(1)海轮有触礁的危险;(2)15°
【解析】试题分析:(1)海轮不改变航向,有没有触礁的危险,应看点到直线
的距离与
的大小。所以过点
作直线
的垂线,交直线
于点
.先由条件在点
处测得小岛
位于北偏东
,得
,在点
处测得小岛
在北偏东
,得
,所以
。∴
.
求的三内角的,可得
。在
中,求得
.因为
,∴海轮由触礁的危险. (2)延长
至
,使
。在
中求
,即为所求。由(1)知
.所以
.在
中求得
.在
中求
. ∵
,∴
.所以
,
∴
. 所以海轮应按东偏南15°的方向航行.
试题解析:解:(1)如图1,过点作直线
的垂线,交直线
于点
.
由已知得,
,
,
∴.
∴在中,
.
又,∴海轮由触礁的危险.
(2)如图2,延长至
,使
,故
.
由(1)得.
∴.
∵,∴
.
即,∴
.
故海轮应按东偏南15°的方向航行.
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【题目】如图,在正四棱锥S﹣ABCD中,E,M,N分别是BC,CD,SC的中点,动点P在线段MN上运动时,下列四个结论:①EP⊥AC;②EP∥BD;③EP∥面SBD;④EP⊥面SAC.中恒成立的为( )
A.①③
B.③④
C.①②
D.②③④
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【题目】某城市随机抽取一年内100 天的空气质量指数(AQI)的监测数据,结果统计如表:
API | [0,50] | (50,100] | (100,150] | (150,200] | (200,300] | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 |
天数 | 6 | 14 | 18 | 27 | 20 | 15 |
(1)若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季,其中有8 天为严重污染.根据提
供的统计数据,完成下面的2×2 列联表,并判断是否有95%的把握认为“该城市本年的
空气严重污染与供暖有关”?
非重度污染 | 严重污染 | 合计 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合计 | 100 |
(2)已知某企业每天的经济损失y(单位:元)与空气质量指数x 的关系式为y= 试估计该企业一个月(按30 天计算)的经济损失的数学期望.
参考公式:K2=
P(K2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】设函数
.若曲线
在点
处的切线方程为
(
为自然对数的底数).
(1)求函数的单调区间;
(2)若关于的不等式
在(0,+
)上恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】甲、乙两人各自独立地进行射击比赛,甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 和
,假设每次射击是否击中目标相互之间没有影响.
(1)求甲射击3次,至少有1次未击中目标的概率;
(2)求两人各射击3次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率.
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,PB⊥面ABCD,BA=BD= ,AD=2,E,F分别是棱AD,PC的中点.
(1)证明:EF∥平面PAB;
(2)若二面角P﹣AD﹣B为60°,求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.
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【题目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a2=b(b+c).
(1)求证:∠A=2∠B;
(2)若a= b,判断△ABC的形状.
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