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【题目】若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和﹣1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点;
(3)设h(x)=f(f(x))﹣c,其中c∈[﹣2,2],求函数y=h(x)的零点个数.

【答案】
(1)解:由 f(x)=x3+ax2+bx,得 f′(x)=3x2+2ax+b.

∵1和﹣1是函数f(x)的两个极值点,

∴f′(1)=3﹣2a+b=0,f′(﹣1)=3+2a+b=0,解得a=0,b=﹣3


(2)解:由(1)得,f(x)=x3﹣3x,∴g′(x)=f(x)+2=x3﹣3x+2=(x﹣1)2(x+2)=0,解得x1=x2=1,x3=﹣2.

∵当x<﹣2时,g′(x)<0;当﹣2<x<1时,g′(x)>0,

∴﹣2是g(x)的极值点.

∵当﹣2<x<1或x>1时,g′(x)>0,∴1不是g(x) 的极值点.

∴g(x)的极值点是﹣2.


(3)解:令f(x)=t,则h(x)=f(t)﹣c.

先讨论关于x的方程f(x)=d根的情况,d∈[﹣2,2]

当|d|=2时,由(2 )可知,f(x)=﹣2的两个不同的根为1和一2,注意到f(x)是奇函数,

∴f(x)=2的两个不同的根为﹣1和2.

当|d|<2时,∵f(﹣1)﹣d=f(2)﹣d=2﹣d>0,f(1)﹣d=f(﹣2)﹣d=﹣2﹣d<0,

∴一2,﹣1,1,2 都不是f(x)=d 的根.

由(1)知,f′(x)=3(x+1)(x﹣1).

①当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数,从而f(x)>f(2)=2.

此时f(x)=d在(2,+∞)无实根.

②当x∈(1,2)时,f′(x)>0,于是f(x)是单调增函数.

又∵f(1)﹣d<0,f(2)﹣d>0,y=f(x)﹣d的图象不间断,

∴f(x)=d在(1,2 )内有唯一实根.

同理,在(一2,一1)内有唯一实根.

③当x∈(﹣1,1)时,f′(x)<0,于是f(x)是单调减函数.

又∵f(﹣1)﹣d>0,f(1)﹣d<0,y=f(x)﹣d的图象不间断,

∴f(x)=d在(一1,1 )内有唯一实根.

因此,当|d|=2 时,f(x)=d 有两个不同的根 x1,x2,满足|x1|=1,|x2|=2;当|d|<2时,f(x)=d 有三个不同的根x3,x4,x5,满足|xi|<2,i=3,4,5.

现考虑函数y=h(x)的零点:

(i)当|c|=2时,f(t)=c有两个根t1,t2,满足|t1|=1,|t2|=2.而f(x)=t1有三个不同的根,f(x)=t2有两个不同的根,故y=h(x)有5 个零点.

(ii)当|c|<2时,f(t)=c有三个不同的根t3,t4,t5,满足|ti|<2,i=3,4,5.

而f(x)=ti有三个不同的根,故y=h(x)有9个零点.

综上所述,当|c|=2时,函数y=h(x)有5个零点;当|c|<2时,函数y=h(x)有9 个零点.


【解析】(1)求出 导函数,根据1和﹣1是函数的两个极值点代入列方程组求解即可.(2)由(1)得f(x)=x3﹣3x,求出g′(x),令g′(x)=0,求解讨论即可.(3)先分|d|=2和|d|<2讨论关于的方程f(x)=d的情况;再考虑函数y=h(x)的零点.
【考点精析】本题主要考查了函数的极值和函数的零点的相关知识点,需要掌握极值反映的是函数在某一点附近的大小情况;函数的零点就是方程的实数根,亦即函数的图象与轴交点的横坐标.即:方程有实数根,函数的图象与坐标轴有交点,函数有零点才能正确解答此题.

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