Question

（本小题满分12分）

设函数，．

（Ⅰ）若，求的极小值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实常数和，使得和？若存在，求出和的值．若不存在，说明理由．

（Ⅲ）设有两个零点，且成等差数列，

试探究值的符号．

Answer 1

解：（1）由

           

利用导数的方法求得的极小值为…………………2分

（2）因为与有一个公共点（1，1），而函数在点（1，1）的

切线方程为，下面验证：都成立即可。

由于，知恒成立；

设

得

在（0，1）上，，单调递增；

在 上，，单调递减；

又因为在处连续，所以

所以

故存在这样的k和m，且k=2,m= -1。   ………………………………6分

（3）的符号为正，理由为：因为有两个零点，则有，两式相减，得

    

 (理科数学试卷答案 共5页—第3页)

即 

于是

   

当时，令，则，

设，则

所以在上为单调增函数，而，所以>0,

又因a>0, ,所以

同理，当时，同理可得

综上所述的符号为正。              ……………………………12分