Question

在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B的中点．
（1）求证：AE⊥A₁C；
（2）求证：B₁C₁∥平面AC；
（3）求三棱锥A-A1BC的体积．

Answer 1

分析：（1）根据正方体的几何特征，我们易得到BC⊥AE，AE⊥A₁B，由线面垂直的判定定理，可得AE⊥平面A₁BC，再根据线面垂直的性质，即可得到AE⊥A₁C；
（2）根据正方体的几何特征，我们易得到B₁C₁∥BC，结合线面平行的判定定理，即可得到B₁C₁∥平面AC；
（3）三棱锥A-A₁BC的体积，可转化为求三棱锥A₁-ABC的体积，根据正方体的几何特征，我们求出棱锥的高和底面面积，即可得到答案．

解答：解：（1）证明：正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵

BC⊥ABB1A1 AE?ABB1A1

∴BC⊥AE…（2分）
正方形ABA₁B₁中，E是A₁B的中点，
∴AE⊥A₁B  …（3分）
又∵BC∩A₁B=B，BC?平面A₁BC，A₁B?平面A₁BC，
∴AE⊥平面A₁BC，…（4分）
又∵A₁C?平面A₁BC，
∴AE⊥A₁C；…（5分）
（2）证明：正方体体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵B₁C₁∥BC，BC?平面AC，B₁C₁?平面AC
∴B₁C₁∥平面AC；
（3）VA-A1BC=VA1-A BC=

1

3

•S△ABC•AA1=

1

3

×

1

2

×1×1=

1

6

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，熟练掌握正方体的几何特征，准确分析出正方体中直线与直线、直线与平面的垂直和平行关系，是解答本题的关键．