Question

己知数列{a_n}满足，其中n∈N^*，首项为a₁

(1)若数列是一个无穷的常数数列，试求a₁的值．

(2)若a₁＝2，求满足不等式的自然数n的集合

(3)若存在a₁＝m，使数列{a_n}满足，对任意的正整数n，均有．求m的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

(1)令得，或　　2分 　　故或时，∴或　　4分 　　(2)解法一：，又 　　∴对大于1的正整数，都有　　5分 　　于是 　　∴数列是递减数列　　6分 　　又，，，　　8分 　　故，即 　　∴且即为所求的自然数的范围　　9分 　　解法二：由，， 　　猜想：　　6分 　　用数学归纳法证之： 　　时成立 　　若成立， 　　则 　　即：也成立 　　∴的通项公式为：　　8分 　　由得：∴且　　9分 　　解法三：由(1)知：　　5分 　　因，由(1)知，对都有　　6分 　　∴即数列是首项为，公比为3的等比数列∴　　8分 　　以下同另解(一)　　9分 　　(3)由解得：或　　10分 　　同样，要使则或　　11分 　　当时，， 　　不合题意　　12分 　　当时，，且，故可类推 　　的所有项均满足 　　∴，即　　14分