Question

已知曲线f（x）=ax³+b经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=3x-1，
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）求曲线过点（-1，0）的切线的方程．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数解析式的求解及常用方法

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：（1）求出导数，则有f′（1）=3a，再由条件得3a=3，又f（0）=1，即可得到解析式；
（2）设切点为（m，n），则由斜率公式得到3m²=

n

m+1

，f（m）=n，即m³+1=n．解出m，再由点斜式方程，即可得到．

解答： （1）解：因为f′（x）=3ax²
所以f′（1）=3a，又因为函数在f（x）处的切线方程是y=3x-1
所以3a=3⇒a=1，
又因为f（x）=ax³+b的图象过（0，1）
所以b=1，
所以f（x）=x³+1；
（2）解：设切点为（m，n），
f′（x）=3x²，则3m²=

n

m+1

，
f（m）=n，即m³+1=n．
解得m=-1或

1

2

，
故切线的斜率为3或

3

4

．
所以由点斜式可得切线方程为y=3x+3或y=

3

4

x+

3

4

．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率；注意“在点处的切线”与“过点的切线”的区别．属于基础题．