Question

已知函数f（x）=2cos²

x

2

-

3

sinx．
（I）求 x∈[

2

3

π，

5

4

π]时函数f（x）的单调区间和值域；
（II）若α为第二象限角，且f（α-

π

3

）=

1

3

，求

cos2α

1+cos2α-sin2α

的值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,三角函数的化简求值,两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）利用倍角公式与两角和差的运算公式可得f（x）=2cos(x+

π

3

)+1，再利用余弦函数的单调性即可得出．
（II）由f（α-

π

3

）=

1

3

，可得cosα=-

1

3

，由于α为第二象限角，可得sinα=

2 2

3

．再利用倍角公式即可得出．

解答： 解：（I）f（x）=1+cosx-

3

sinx=2cos(x+

π

3

)+1，∵x∈[

2

3

π，

5

4

π]，∴(x+

π

3

)∈[π，

19π

12

]，
∴x∈[

2

3

π，

5

4

π]为函数f（x）的单调递增区间；
其值域为[-1，

6 - 2 -2

2

]．
（II）∵f（α-

π

3

）=

1

3

，∴1+2cosα=

1

3

，解得cosα=-

1

3

，
∵α为第二象限角，∴sinα=

2 2

3

．
∴

cos2α

1+cos2α-sin2α

=

cos2α-sin2α

2cos2α-2sinαcosα

=

cosα+sinα

2cosα

=

1

2

+

2 2 3

2×(- 1 3 )

=

1-2 2

2

．

点评：本题考查了倍角公式、两角和差的运算公式、余弦函数的单调性、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．