Question

16．已知函数f（x）=Asin（wx+φ）（A＞0，w＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，且图象上一个最低点为$M（\frac{2π}{3}，-2）$
（1）求f（x）的解析式
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）的最小正周期求出ω，根据f（x）图象上一个最低点求出A与φ的值即可；
（2）求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时2x+$\frac{π}{6}$的取值范围，从而求出函数f（x）的值域．

解答 解：（1）根据f（x）=Asin（ωx+φ）的最小正周期为π，
可得ω=$\frac{2π}{T}$=$\frac{2π}{π}$=2，
再根据f（x）图象上一个最低点为M（$\frac{2π}{3}$，-2），
可得A=2，sin（2×$\frac{2π}{3}$+φ）=-1，
∴2×$\frac{2π}{3}$+φ=2kπ-$\frac{π}{2}$，k∈z，
即φ=2kπ-$\frac{11π}{6}$；
再由0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
得φ=$\frac{π}{6}$，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x∈[0，π]，
2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为2×1=2，
当2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$时，函数f（x）取得最小值为2×（-$\frac{1}{2}$）=-1，
故函数f（x）的值域为[-1，2]．

点评 本题主要考查了由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式和定义域、值域的应用问题，是基础题．