Question

8．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}+\frac{1}{2}{x^2}$-1．
（1）求函数f（x）在点（1，-$\frac{1}{6}$ ）处的切线方程；
（2）若直线y=m与f（x）的图象有三个不同的交点，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意，对f（x）求导可得f′（x），从而可得f′（1）的值，即可得函数f（x）在点（1，-$\frac{1}{6}$ ）处的切线的斜率，由直线的点斜式方程计算可得答案；
（2）对f（x）求导可得f′（x），借助导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性和极值，分析直线y=m与f（x）的图象的位置关系即可得答案．

解答 解：（1）由已知得：f′（x）=x²+x  …（2分）
∴f′（1）=2
则切线方程为：y+$\frac{1}{6}$=2（x-1）
即12x-6y-13=0 …（6分）
（2）令f′（x）=x²+x=0解得：x=-1，x=0
当 x＜-1时，f′（x）＞0
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0
当 x＞0时，f′（x）＞0
∴f（x）的极大值是f（-1）=-$\frac{5}{6}$
f（x）的极小值是f（0）=-1…（10分）
所以要使直线y=m与f（x）的图象有三个不同的交点，m $∈（-1，-\frac{5}{6}）$…（12分）

点评 本题考查导数的运用，（2）的关键在于根据导数判断出函数的单调性以及极值，从而大致判断出函数的形状．