Question

16．求函数y=x²在下列范围内的值域：
（1）x∈[1，2]；
（2）x∈[-1，2]；
（3）x∈[-3，2]；
（4）x∈[a，2]．

Answer 1

分析 （1）可设y=f（x），显然f（x）在[1，2]上单调递增，从而值域在端点出取得；
（2）f（x）的对称轴为x=0∈[-1，2]，从而比较f（-1），f（2）即可得出f（x）的值域；
（3）方法同（2）；
（4）讨论a：a＜-2，-2≤a≤0，0＜a＜2，在这三种情况下可结合函数f（x）的图象即可得出每种情况下的值域．

解答 解：（1）设y=f（x）；
f（x）在[1，2]上单调递增；
∴f（x）在[1，2]上的值域为[f（1），f（2）]=[1，4]；
（2）x=0时，f（x）取最小值0，f（-1）=1，f（2）=4；
∴f（x）在[-1，2]上的值域为[0，4]；
（3）f（-3）=9，f（2）=4；
∴f（x）在[-3，2]上的值域为[0，9]；
（4）①若a＜-2，则：f（a）＞f（2）；
∴f（x）在[a，2]上的值域为[0，a²]；
②若-2≤a≤0，则f（a）≤f（2）；
∴f（x）在[a，2]上的值域为[0，4]；
③若0＜a＜a，则f（x）在[a，2]上单调递增；
∴f（x）在[a，2]上的值域为[a²，4]．

点评 考查二次函数的对称轴，及二次函数的单调性，根据单调性求函数的值域，要熟悉二次函数的图象，能结合图象求值域．