Question

1．设函数f（x）=-x²+（3-2a）x+2，（a∈R）．
（1）若函数f（x）在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上具有单调性，求实数a的取值范围；
（2）求函数f（x）在区间[-2，-1]上存在零点时实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）函数零点不在区间[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]上．即零点在-$\frac{1}{2}$左侧或零点在$\frac{5}{2}$的右侧．
（2）区间[-2，-1]上存在零点．即f′（x）图象在区间[-2，-1]上过x轴，即f′（-2）•f′（-1）＜0

解答 解：由题得f′（x）=-2x+3-2a
令f′（x）=0
∴x=$\frac{3}{2}$-a
∴$\frac{3}{2}$-a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$-a≥$\frac{5}{2}$
∴a≥2或a≤-1
（2）由题知f′（-2）•f′（-1）＜0
f′（-2）=7-2a，f′（-1）=5-2a
∴（2a-7）（2a-5）＜0
∴$\frac{5}{2}$＜a＜$\frac{7}{2}$

点评 此题是导数部分基础性试题．应充分理解零点和函数单调性的关系，零点和导函数的关系．