Question

8．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，左顶点为A，点B（0，b），若线段AF₁（不含端点）上存在点P，使得以PF₂为直径的圆经过点B，则双曲线C的离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• B． （$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，+∞）
• C． （$\sqrt{2}$，$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意，PB⊥BF₂，设P（x，0）（-c＜x＜-a），则可得（-x，b）•（c，-b）=0，由此即可求出双曲线C的离心率的取值范围．

解答 解：由题意，PB⊥BF₂，
设P（x，0）（-c＜x＜-a），则
∵PB⊥BF₂，
∴（-x，b）•（c，-b）=0，
∴-cx=b²，
∵-c＜x＜-a，
∴ac＜-cx＜c²，
∴ac＜b²＜c²，
∴ac＜c²-a²＜c²，
∴e²-e-1＞0，
∴e＞$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的性质，考查圆中直径的性质，考查学生的计算能力，属于中档题．