Question

设，．证明：当且仅当时，存在数列满足以下条件：
（ⅰ），；
（ⅱ）存在；
（ⅲ），．

Answer 1

[证] 必要性：假设存在满足（ⅰ），（ⅱ），（iii）．注意到（ⅲ）中式子可化为
，，
其中．
将上式从第1项加到第项，并注意到得
．              
由（ⅱ）可设，将上式取极限得


，
因此．                                                          
充分性：假设．定义多项式函数如下：
，，
则在[0,1]上是递增函数，且
，．
因此方程在[0,1]内有唯一的根，且，即．   
下取数列为，，则明显地满足题设条件（ⅰ），且 ．
因，故，因此，即的极限存在，满足（ⅱ）．                                                              
最后验证满足（ⅲ），因，即，从而
．
综上，已证得存在数列满足（ⅰ），（ⅱ），（ⅲ）．          

解析见答案