Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n．已知a₃=12，S₁₂>0，S₁₃<0．
(Ⅰ)求公差d的取值范围．
(Ⅱ)指出S₁，S₂，…，S₁₂中哪一个值最大，并说明理由．

Answer 1

本小题考查数列、不等式及综合运用有关知识解决问题的能力．
(Ⅰ)解：依题意，有
，

① ②

即    

由a₃=12，得a₁=12－2d．   ③
将③式分别代①、②式，得，<d<－3
(Ⅱ)解法一：由d<0可知a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n>0，a_n+1<0，则S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．
由于 S₁₂=6(a₆+a₇)>0，S₁₃=13a₇<0，即      a₆+a₇>0，a₇<0，此得a₆>－a₇>0．
因为a₆>0，a₇<0，故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．
(Ⅱ)解法二：

＝．
∵    d<0，∴最小时，S_n最大．
当 <d<－3时 ，
∵正整数n=6时最小，∴S₆最大．
(Ⅲ)解法三：由d<0可知 a₁>a₂>a₃>…>a₁₂>a₁₃．
因此，若在1≤n≤12中存在自然数n，使得a_n>0，a_n+1<0，
则S_n就是S₁，S₂，…，S₁₂中的最大值．

故在S₁，S₂，…，S₁₂中S₆的值最大．