Question

已知二次函数同时满足：①不等式的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在，使得不等式成立。设数列的前n项和。（1）求的解析式；（2）求数列的通项公式；（3）设，，前n项和为，（恒成立，求实数m的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）m<18

（1）的解集有且只有一个元素，…2分
当a=4时，函数上递减，故存在，使得不等式成立，当a=0时，函数上递增，
故不存在，使得不等式成立，综上，得a=4，．
（2）由（1）可知，当n=1时，
当时，．……7分
．……9分
（3），……10分
，．…12分
]
=…13分
（恒成立可转化为：
对恒成立，因为是关于n的增函数，所以当n=2时，其取得最小值１８，所以m<18．………16分