Question

在数列中，，是给定的非零整数，．
（1）若，，求；（2）证明：从中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．

Answer 1

（1）1        （2）略

（1）∵，，，，，，，，，，，，，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故=1．……4分
（2）首先证明数列必在有限项后出现零项．假设中没有零项，
由于，所以.时，都有．……………………6分
当时，（）；
当时，（），
即的值要么比至少小1，要么比至少小1．…………………8分
令，，则．
由于是确定的正整数，这样下去，必然存在某项，这与矛盾，从而中必有零项．……………………………………………10分
若第一次出现的零项为，记，则自第项开始，每三个相邻的项周期地取值，即，
所以数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.……12分