Question

如图，设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，且A、B两点坐标为（x₁，y₁），（x₂，y₂），y₁＞0，y₂＜0，P是此抛物线的准线上的一点，O是坐标原点．
（Ⅰ）求证：y₁y₂=-p²；
（Ⅱ）直线PA、PF、PB的方向向量为（1，a）、（1，b）、（1，c），求证：实数a、b、c成等差数列；
（Ⅲ）若

PA

•

PB

=0，∠APF=α，∠BPF=β，∠PFO=θ，求证：θ=|α-β|．

Answer 1

分析：（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：x=

p

2

，由此可知y₁y₂=-p²（1分）
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：y=k(x-

p

2

)，则由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，可得ky2-2py-kp2=0(k≠0)所以y₁y₂=-p²（3分）
（Ⅱ）由已知a=k_PA，b=k_PF，c=k_PB，设P(-

p

2

，t)，F(

p

2

，0)，所以a=

y1-t

x1+ p 2

，b=

-t

p

，c=

y2-t

x2+ p 2

；且x1=

y 2 1

2p

，x2=

y 2 2

2p

．由此入手可知a、b、c成等差数列．
（Ⅲ）由题意知a•c=-1，a-b=b-c．再由k_AB的取值范围分别进行讨论，可以推导出θ=|α-β|．

解答：证明：（I）（1）当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：x=

p

2

，
则A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，∴y₁y₂=-p²（1分）
（2）当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB方程为：y=k(x-

p

2

)，
则由

y=k(x- p 2 ) y2=2px

，可得ky2-2py-kp2=0(k≠0)∴y₁y₂=-p²（3分）
（Ⅱ）由已知a=k_PA，b=k_PF，c=k_PB，
设P(-

p

2

，t)，F(

p

2

，0)∴a=

y1-t

x1+ p 2

，b=

-t

p

，c=

y2-t

x2+ p 2

；且x1=

y 2 1

2p

，x2=

y 2 2

2p

故a+c=

y1-t

x1+ p 2

+

y2-t

x2+ p 2

=

y1-t

y 2 1 2p + p 2

+

y2-t

y 2 2 2p + p 2

=

2p(y1-t)

y 2 1 +p2

+

2p(y2-t)

y 2 2 +p2

=2p•

(y1-t)( y 2 2 +p2)+(y2-t)( y 2 1 +p2)

( y 2 1 +p2)( y 2 2 +p2)

=2p•

y1 y 2 2 +y1p2-t y 2 2 -tp2+y2 y 2 1 +y2p2-t y 2 1 -tp2

y 2 1 y 2 2 +p2( y 2 1 + y 2 2 )+p4

=2p•

-t( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

p2( y 2 1 + y 2 2 +2p2)

=-

2t

p

=2b
∴a、b、c成等差数列（8分）
（Ⅲ）∵

PA

⊥

PB

=0
∴PA⊥PB，故a•c=-1
由（Ⅱ）可知a+c=2b，即a-b=b-c
①若AB⊥x轴，则α=β=45°，θ=0°∴θ=α-β
②若k_AB＞0，则tanα=

a-b

1+ab

=

a-b

-ac+ab

=

a-b

a(b-c)

=

1

a

=-c
同理可得tanβ=α
∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanα•tanβ

=

-c-a

1+(-c)a

=-

a+c

2

=-b
即|tan（α-β）|=|b|=tanθ
易知∠PFO，∠BPF，∠APF都是锐角∴θ=|α-β|
③若k_AB＜0，类似的也可证明θ=|α-β|
总上所述，θ=|α-β|（14分）

点评：本题考查圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，结合图形效果会更好．